1 . 如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，以AB为直径的圆交x轴于M，N，且当轴时，．
   
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AN，AM分别交抛物线C于G，H（不同于A），直线AB交GH于点P，且直线AB的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB使得B，H，P，M四点共圆．

2 . 已知抛物线，过抛物线的焦点作一条直线l与抛物线相交与两点A、B，以A、B为切点分别作抛物线的两条切线.
（1）求证这两条切线的交点P一定在定直线上，并求出该定直线的方程.
（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

3 . 在平面直角坐标系中，有定点，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交曲线于两点，，以，为切点作曲线的切线，交于点，连接，，．
（ⅰ）证明：点在一条定直线上；
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的最小值．

4 . 直线过点且与抛物线交于，（，都在轴同侧）两点，过，作轴的垂线，垂足分别为，.
（1）若，，证明：的斜率为定值.
（2）若，设的面积为，梯形的面积为，是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，已知动圆经过定点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，、的斜率分别为，，且满足，的面积为8，求直线的方程．

6 . 已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.

7 . 如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率．

（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

8 . 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.
（1）若过点，抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.证明：点在定直线上.
（2）若，点在曲线上，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围.

9 . 如图已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和(其中位于轴上方)，直线交于点.

（1）求证：点在定直线上；
（2）当分别为的中点时，求出直线的方程.

10 . 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.

（1）求p的值；
（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l₁经过点C且垂直于y轴，直线l₂经过点M且垂直于直线l，记l₁，l₂相交于点P，求证：点P在定直线上.