1 . 已知抛物线，直线与抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

(1)若M的坐标是，求k的值；
(2)当时，证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．

2 . 已知抛物线：，过点垂直于轴的垂线与抛物线交于，点满足

（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点，记与的面积分别为，求的值

3 . 已知抛物线，与圆，直线与抛物线相交于，两点.
（1）求证：.
（2）若直线与圆相切，求的面积.

4 . 已知O为坐标原点，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y²＝2px（p＞0）交于A，B两点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作直线l'⊥l交抛物线C于两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S₁，S₂，证明：为定值.

5 . 如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．

6 . 已知抛物线的焦点为直线与轴的交点，为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点A(2,0)的直线与抛物线相交于B、C两点，求证：

7 . 已知是抛物线上一点，为的焦点．
（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．
（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．

8 . 平面直角坐标系中O为坐标原点，过点.，且斜率为的直线交抛物线于两点.
(1)写出直线的方程；（2）求与的值；（3）求证:.

9 . 已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、．
(1)当直线过点时，证明，为定值．
(2)当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；反之，请说明理由．
(3)记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．