1 . 已知椭圆（）的焦点是F₁，F₂，且| F₁F₂|=2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线交椭圆于，（）两点，点Q是直线l上异于F₂的一点，且满足.求证：点Q的横坐标是定值.

2 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，点在圆：上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是圆上异于的两点，且直线、与椭圆相切，求证：，关于原点对称．

3 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．

4 . 已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.
（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

5 . 已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点M(4，0)且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值.

6 . 给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l₁，l₂交“准圆”于点M，N.证明：l₁⊥l₂，且线段MN的长为定值．

7 . 已知椭圆：（）过点，，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点（，不重合），轴，垂足为，求证：．

8 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O关于直线的对称点落在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，M、N是椭圆上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点E，求直线的斜率范围并证明直线与x轴相交定点．

9 . 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，C上的动点Q到的最大距离为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，若MN的中点为P，求证：.