1 . 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且，其中O为原点求证：．

2 . 已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．

3 . 椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.

4 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为，且该椭圆过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当动直线与椭圆相切于点，且与直线相交于点，求证：为直角三角形.

5 . 已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.
（1）当垂直于轴时，求直线的方程；
（2）证明：.

6 . 过椭圆W：的左焦点F₁作直线l₁交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F₁的直线l₂交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点0，﹣1重合．过F₁作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．
（1）求B点坐标和直线l₁的方程；
（2）比较线段EF₁和线段GF₁的长度关系并给出证明．

7 . 已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．

8 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且，
⊙与该椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，求证：；
（3）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，试探究的数量关系.

9 . 椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.
(1)求椭圆方程；
(2)以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

10 . 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.

（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；
（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；
（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．