1 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

2 . 已知椭圆（）的焦点是F₁，F₂，且| F₁F₂|=2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线交椭圆于，（）两点，点Q是直线l上异于F₂的一点，且满足.求证：点Q的横坐标是定值.

4 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，点在圆：上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是圆上异于的两点，且直线、与椭圆相切，求证：，关于原点对称．

5 . 已知椭圆的左右焦点为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）设直线、的斜率分别为、，证明：；
（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点M(4，0)且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值.

7 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O关于直线的对称点落在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，M、N是椭圆上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点E，求直线的斜率范围并证明直线与x轴相交定点．

8 . 已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设点，，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，，求证：的面积为定值．

9 . 椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线为抛物线的准线，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上的任一点（不在轴上），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，求证：三点共线．

10 . 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.