1 . 证明下列不等式
(1)已知，，，且，求证：.
(2)已知，，，求证： .

2 . 已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值，并证明为奇函数；
(2)求证在上是增函数；
(3)若，解关于的不等式.

3 . 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，，为上一点，.
   
(1)证明：
(2)求证：平面平面.

4 . 已知数列的前项积为，且，.
(1)求证：数列是等差数列，并且求其通项公式；
(2)证明：.

5 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

6 . 已知函数.
(1)求证：；
(2)若，证明：.

7 . 已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.

8 . 已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．

9 . 已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证

10 . 已知数列的前项积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)证明：.