1 . 已知椭圆：的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．

2 . 已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线与直线的直角坐标方程；
（2）求直线，被曲线截得的弦长．

4 . 已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长

5 . 设分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直.直线 与的另一个交点为.
(1)若直线的斜率为，求的离心率.
(2)若直线在轴上的截距为，且，求.

6 . 设分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程.

7 . 如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且
为钝角.

（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.