1 . 已知椭圆 交x轴于与G交于y轴．
(1)求G的标准方程
(2)若与G有两个不同的交点，求的取值范围
(3)设直线交G于（l的倾斜角正弦值的绝对值小于等于），以为邻边作平行四边形在椭圆G上，O为坐标原点．证明：的最小值与的某三角函数值相等

2 . 已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，过左焦点F₁的直线l₁交Γ于A，B两点，过右焦点F₂的直线l₂交Γ于C，D两点，且点A，C位于x轴上方，当直线l₁的倾斜角为90°时，恰有|AB|＝2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l₁，l₂的斜率之积为，求四边形ACBD面积的最大值．

3 . 2021年4月29日11时22分，天和号核心舱成功发射，标志着中国天宫空间站正式开建，如图（1）所示．返回舱是宇航员从太空返回地球的座舱，如图（2）所示，返回舱内空间越大宇航员越舒适．若返回舱的轴截面曲线是由半椭圆和半圆弧组成的“曲圆”，如图（3）所示，过半椭圆上焦点作两条关于y轴对称的直线交上半椭圆于，交下半圆弧于，则梯形面积的最大值为_____．

4 . 在坐标平面上有一运动着的梯形，，，，，该梯形在运动过程中始终满足，则原点到直线的最短距离为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知椭圆：左右焦点分别为，在椭圆上且活动于第一象限，垂直于轴交轴于，为中点；连接交轴于，连接并延长交直线于.

(1)求直线与的斜率之积；
(2)已知点，求的最大值.

6 . 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．

（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

7 . 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，．
（1）求的轨迹方程，并说明曲线的类型；
（2）当时，为（1）中的所在曲线上任意一点．过点的直线交曲线：于，两点，射线交曲线于点．
求的值；
求面积的最大值．

8 . 如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．

（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．

9 . （1）试证在中心为O点的椭圆上任取两点P、Q，使，则与P、Q点的选取无关.
（2）在（1）的条件下求的最小值；并求面积的最小值.

10 . 如图所示，点P在椭圆上移动，点Q在以点为圆心，半径为的圆上移动，当点P位于点，点Q位于点时，P、Q两点距离最近，记最近距离为d，求d及、的坐标.