1 . 已知动点到点的距离与到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且直线（为坐标原点）的斜率满足，证明：直线过定点.

2 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．

3 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与的面积之比；若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

5 . 已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上．

6 . 已知椭圆：的离心率为，直线：与交于两点，且.
(1)求的方程；
(2)若的左、右顶点分别为，点不同于为直线上一动点，直线分别与交于点，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 已知椭圆的离心率为，为椭圆的上顶点，为椭圆上两点．当与轴垂直时，的面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率存在，且斜率的乘积为是否一定经过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

8 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值．
(3)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点．

9 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且过两点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于两点，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

10 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.