1 . 已知椭圆的中心为，、是椭圆上的两个不同的点且满足，给出下列四个结论：
①点在直线上投影的轨迹为圆；
②的平分线交于点，的最小值为；
③面积的最小值为；
④中，边上中线长的最小值为．
其中所有正确结论的序号是________．

2 . 已知椭圆，过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，点的坐标为，设直线和的斜率分别为和，求的值.

3 . 在平面直角坐标系中，是椭圆：上的点，过点的直线的方程为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当时，
（i）设直线与轴、轴分别相交于，两点，求的最小值；
（ii）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点，，三点共线.

4 . 如图，已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）记、的面积分别为、，若，求的值；
（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.

5 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．
（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．
（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

6 . 已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.

7 . 已知椭圆：，上下两个顶点分别为，，左右焦点分别为，，四边形是边长为的正方形，过作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：四边形对角线交点的纵坐标与，两点的位置无关.

8 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．

9 . 已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.

10 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．
（）求椭圆的标准方程．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．