1 . 现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制．为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了100名学生的物理成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格．
   
(1)求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自的概率．

2 . 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

班号	1	2	3	4
人数	30	40	20	10

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；
(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.

3 . 小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（       ）

（1）；（2）；（3）．

A．3

B．2

C．1

D．0

4 . 某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间．现将数据分组，并制成右图所示的频率分布直方图．为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”．

(1)求图中的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过分钟的概率．

5 . 某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（       ）

A．事件A与事件C互斥

B．事件B与事件C互斥

C．事件A与事件B相互独立

D．事件B与事件C相互独立

7 . 近几年，每到春寒交替的季节，北京地区的医院呼吸利都人满为患，致病的罪魅祸首就是“雾霜”，私家车排放的可吸入颗粒物PM10和PM2.5是首要污染源为此政府提出“公交优先就是公民优先”引导大家公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：

组别	候车时间（单位：）	人数
一		1
二		5
三		3
四		1

(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
(2)现从这10人中随机取2人，求恰有一人来自第二组的概率.

8 . 某校举办“复兴杯”羽毛球比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲获胜的概率减小，且甲连胜两局获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
(1)求甲获胜的概率；
(2)若冠军奖金为1600元，且在甲第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖金比较合理？

9 . 我校知名社团“理科学社”，为了了解我校学生对中学数学竞赛是否有兴趣，现从理科学生和文科学生随机各抽取50人进行调查，对中学数学竞赛有兴趣的人数占总人数的​，理科学生中有5人对中学数学竞赛没有兴趣.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为对中学数学竞赛是否有兴趣与文理科有关？

	有兴趣	没有兴趣	合计
理科
文科
合计

(2)现我校需选择2名学生选手参加“西部数学邀请赛”，经过初选有4名理科学生和2名文科学生进入最后的选拔，若从这六名学生中随机选择2名同学组成我校“西部数学邀请赛代表队”，则求“西部数学邀请赛代表队”中有文科生的概率.

	0.05	0.01	0.005	0.001
k0	3,841	6.635	7.879	10.828

附：​.

10 . 我校后勤服务中心为监控学校稻香圆食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．

(1)求频率分布直方图中a的值并估计样本的众数：
(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；
(3)我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中 评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80.100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．