解题方法
1 . 一个质点在随机外力的作用下，从平面直角坐标系的原点
出发，每隔1秒等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位.
(1)共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；
(2)分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率；
(3)若共移动
次（大于0，且为偶数），求证：质点回到原点的概率为
.
出发，每隔1秒等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位.(1)共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；
(2)分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率；
(3)若共移动
次（大于0，且为偶数），求证：质点回到原点的概率为.
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名校
解题方法
2 . 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是
，随机变量
表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量的分布列和期望
；
(2)若
，设随机变量的方差为
，求证：
．
，随机变量表示最终的比赛局数．(1)求随机变量
的分布列和期望；(2)若
，设随机变量的方差为，求证：．
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名校
解题方法
3 . 盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球．
(1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望；
(2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件
，求证：
．
(1)若采用有放回摸球，用
表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望；(2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件
，求证：．
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真题
解题方法
4 . 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
| 赔偿次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 单数 |  |  |  |  |  |
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
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2024-06-15更新
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3026次组卷
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6卷引用：2024年北京高考数学真题
2024年北京高考数学真题专题10计数原理、概率、随机变量及其分布（已下线）2024年北京高考数学真题变式题16-21专题10计数原理与概率统计（已下线）五年北京专题07计数原理与概率统计（已下线）三年北京专题07计数原理与概率统计
解题方法
5 . 2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到
，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“
”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 
的大小关系． (结论不要求证明）．
，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
| 项目 | 斋堂出口 | 清水出口 | 安家庄出口 | 雁翅出口 | 火村出口 | 西台子出口 |
| 上班 | 40 | 8 | 2 | 5 | 3 | 2 |
| 旅游 | 30 | 20 | 10 | 10 | 12 | 8 |
| 探亲 | 16 | 10 | 10 | 5 | 5 | 4 |
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为
，求的分布列和数学期望；(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）．
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名校
解题方法
6 . 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a
表示.
(2)将甲、乙两组中阅读量超过 15本的学生称为“阅读达人”.设
，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；
(3)记甲组阅读量的方差为
.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为
；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为
，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
表示.
(2)将甲、乙两组中阅读量
，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；(3)记甲组阅读量的方差为
.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
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2024高三·全国·专题练习
7 . 
三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；
(1)试估计
班的学生人数；
(2)从
班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试判断和的大小，(结论不要求证明)
三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；| A班 | 6 |
| 7 |
| 8 | |||
| B班 | 6 | 7 | 8 |
| 10 | 11 | 12 | |
| C班 | 3 |
| 6 |
| 9 |  | 12 |
|
班的学生人数；(2)从
班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从
三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明)
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解题方法
8 . 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为
（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)求出
的值并补全频率分布表；
(2)根据频率分布表补全样本容量为
的
列联表（如下表），并根据小概率值
的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过
时，认为较近，否则认为较远）；
根据频率分布表列出如下的列联表：
(3)一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：
.
附：
，其中
.
（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.学生与最近食堂间的距离 |  |  |  |  |  | 合计 |
| 在食堂就餐 | 0.15 | 0.10 | 0.00 | 0.50 | ||
| 点外卖 | 0.20 | 0.00 | 0.50 | |||
| 合计 | 0.20 |
| 0.15 | 0.00 | 1.00 |
的值并补全频率分布表；(2)根据频率分布表补全样本容量为
的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）；根据频率分布表列出如下的
列联表：学生距最近食堂较近 | 学生距最近食堂较远 | 合计 | |
在食堂就餐 | |||
点外卖 | |||
合计 |
.附：
，其中. | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
9 . 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有
个服务区.现有一辆车从第
个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第
个服务区开出后，将等可能地停靠在第
个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量
为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求
的分布列及期望；
(2)证明：
是等差数列.
个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数.(1)求
的分布列及期望；(2)证明：
是等差数列.
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2024-06-03更新
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908次组卷
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2卷引用：广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题
10 . 如图，已知正方体
顶点处有一质点
，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面
上的概率为
.
；
(2)①求证：数列
是等比数列；
②求
.
顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为.
；(2)①求证：数列
是等比数列；②求
.
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2024-05-17更新
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1194次组卷
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3卷引用：江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题
江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷（已下线）专题07 概率与统计综合问题（6类题型）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）
