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解题方法
1 . 已知甲口袋中有
个白球，
个红球（
，，
），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设
.
(1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（
）；
(2)化简
；
(3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为
，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率.
个白球，个红球（，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设.(1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（
）；(2)化简
；(3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为
，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率.
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2 . 象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为
，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为
，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为
，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
| 第一轮 | 甲－乙 | 丙－丁 |
| 第二轮 | 甲－丙 | 乙－丁 |
| 第三轮 | 甲－丁 | 乙－丙 |
，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
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解题方法
3 . 下列命题中，正确的有（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第 分是7 |
B．若随机变量 ，则 |
| C．在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合位数效果，r越大，模型的拟合效果越好 |
D．若随机变量 ， ，则 |
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解题方法
4 . 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．某公司生产了A、B两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A、B两种不同型号的新能源汽车进行综合评估，综合得分按照
，
，
，
分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：
(1)以调查结果的频率估计概率，从A、B两种不同型号的新能源汽车中各随机抽取一辆，以X表示这两辆中综合得分不低于80分的辆数，求X的分布列和数学期望；
(2)为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程为
，且销量的方差
，年份的方差为
．求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱．
参考公式：
（ⅰ）线性回归方程：
，其中
，
；
（ⅱ）相关系数
（若
，则相关性较弱；若
，则相关性较强；若
，则相关性很强）．
，，，分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：
(1)以调查结果的频率估计概率，从A、B两种不同型号的新能源汽车中各随机抽取一辆，以X表示这两辆中综合得分不低于80分的辆数，求X的分布列和数学期望；
(2)为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程为
，且销量的方差，年份的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱．参考公式：
（ⅰ）线性回归方程：
，其中，；（ⅱ）相关系数
（若，则相关性较弱；若，则相关性较强；若，则相关性很强）．
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2024高三下·全国·专题练习
解题方法
5 . “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用
局
胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
.
(1)若
，
，设比赛结束时比赛的局数为
，求的分布列与数学期望；
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为
，采用5局3胜制时乙获胜的概率为
，若
，求
的取值范围.
局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.(1)若
，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为
，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
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解题方法
6 . 某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人）.选3人参加学校的义务劳动，事件
“男生甲被选中”，事件
“女生乙被选中”，则
（ ）
“男生甲被选中”，事件“女生乙被选中”，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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7 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为
一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，最终欠债 A元（可以记为该赌徒手中有 
元）概率为 
，请回答下列问题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
时，
的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，，请回答下列问题：(1)请直接写出
与的数值．(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．(3)当
时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
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8 . 在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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9 . 某人射箭命中靶心的概率为
，一共射击10次，则命中________ 次的可能性最大．
，一共射击10次，则命中
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，则
（ ）
