解题方法
1 . 现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件
第一次取到是红球
，事件
第一次取到了标记数字1的球，
事件
第一次取到了标记数字2的球，事件
第二次取到了标记数字1的球，
①求证：
；
②判断：
与
是否相互独立？请说明理由.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件
第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件
第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①求证：
；②判断：
与是否相互独立？请说明理由.
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2023-11-21更新
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661次组卷
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5卷引用：广东省东莞市南城开心实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷
广东省东莞市南城开心实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷10.2事件的相互独立性练习（已下线）考点10 各类事件的辨析 2024届高考数学考点总动员（已下线）模块二 专题5 概率中的创新问题云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题
解题方法
2 . 某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：
，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．
表1高中生组
(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在
小时内的总人数；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记
为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在的概率为
，请直接写出k为何值时
取得最大值．（结论不要求证明）
，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．表1高中生组
分组区间 | 频数 |
| 2 |
| 10 |
| 14 |
| 12 |
| 2 |
小时内的总人数；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记
为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在
的概率为，请直接写出k为何值时取得最大值．（结论不要求证明）
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解题方法
3 . 在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，而且这种压力将伴随着现代生活节奏的加快和社会竞争日趋加速而逐渐增大，心理压力产生的主要原因是个人目标期望值与现实状况之间的差距，这种差距越大产生的心理压力就越大，当心理压力达到一定程度时，不但不会产生积极的动力，反而会使人的身体经络系统失去平衡，进而产生如焦虑症、恐慌症、失眠症等其他心理疾病，某市为了解市民压力情况，随机对该市的1000位市民进行了心理压力测试，并对他们的测试分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)测试分数越接近100表示压力越大，80分为临界分数，测试分数不低于临界分数的则需要降低追求目标或充分休息，以样本的频率作为总体的概率，在该市随机调查10位市民，X表示其中需要降低追求目标或充分休息的人数，求X的期望；
(2)从样本中测试分数在
的两组市民中，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选出3人，求选出的3人中恰有2人测试分数在
中的概率；
(3)若一个总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为:m，
，
，n，
，
.记总的样本平均数为
，样本方差为
.证明:①
；②
.
(1)测试分数越接近100表示压力越大，80分为临界分数，测试分数不低于临界分数的则需要降低追求目标或充分休息，以样本的频率作为总体的概率，在该市随机调查10位市民，X表示其中需要降低追求目标或充分休息的人数，求X的期望；
(2)从样本中测试分数在
的两组市民中，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选出3人，求选出的3人中恰有2人测试分数在中的概率；(3)若一个总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为:m，
，，n，，.记总的样本平均数为，样本方差为.证明:①；②.
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名校
4 . 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：
），按照区间
，
，
，
，
分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中
的值及身高在
及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，
，
；
，
，
．记总的样本平均数为
，样本方差为
，证明：
①
；
②
．
），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中
的值及身高在及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①
；②
．
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2021-09-09更新
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4117次组卷
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19卷引用：9.2.4 总体离散程度的估计（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）
（已下线）9.2.4 总体离散程度的估计（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）第9章 统计 章末测试（基础）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题9-2 概率与统计归类（讲+练）第14章《统计》单元达标高分突破必刷卷(培优版）-《考点·题型·技巧》（已下线）专题强化 统计考点必刷精选题-《考点·题型·技巧》（已下线）第08讲 随机抽样专题期末高频考点题型秒杀吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）4.3百分位数-同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）（已下线）第13章 统计（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）安徽省六安市舒城中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）第九章 统计 章末测试（提升）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）黑龙江省佳木斯市第十二中学（佳木斯市建三江第一中学）2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题05 统计与概率-【常考压轴题】（已下线）专题9.7 统计全章综合测试卷（提高篇）--举一反三系列（人教A版2019必修第二册）单元测试A卷——第九章?统计（已下线）专题22 用样本估计总体-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题23 统计图表 用样本估计总体-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）湖南省湘楚名校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题（已下线）第14章 统计 单元综合检测（重难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）
5 . A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：时）：
（1）试估计C班的学生人数；
（2）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为
，表格中数据的平均数记为
，试判断和的大小（只写结论，不要求证明）.
A班 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | |||
B班 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
C班 | 3 | 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | 12 | 13.5 |
（2）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为
，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（只写结论，不要求证明）.
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2021-10-16更新
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172次组卷
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2卷引用：人教B版(2019) 必修第二册 北京名校同步练习册 第五章 统计与概率 5.1 统计 5.1.2 数据的数字特征（第一课时）
6 . 已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为
.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：
.
.（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：
.
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2020-02-02更新
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743次组卷
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11卷引用：江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题
江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题人教A版（2019）必修第二册课本习题 习题9.1（已下线）2.2分层抽样-同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）（已下线）13.3 抽样的方法(六大题型)（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第九章 9.1 随机取样 9.1.2 分层随机抽样+小结（已下线）9.1 随机抽样北师大版(2019) 必修第一册 名校名师卷 第十一单元 用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征A卷2023版 湘教版(2019) 必修第一册 名师精选卷 第十五单元 统计图表、用样本估计总体 A卷（已下线）9.1.2&9.1.3 分层随机抽样、获取数据的途径——课后作业（巩固版）（已下线）9.1.2分层随机抽样+9.1.3获取数据的途径【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）专题07 获取数据的途径与抽样常考点-《期末真题分类汇编》（江苏专用）
