1 . 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；
(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．

2 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取三点，则该三点不在同一片“风叶”上的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

3 . 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当n为奇数时，证明：.

4 . 2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（）.

（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；
（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过的概率；
（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）

5 . 设正整数m，n满足，，，，…，为集各的n元子集，且；
（1）若，满足；
（i）求证：；
（ii）求满足条件的集合的个数；
（2）若中至多有一个元素，求证：.

6 . 在集合中，任取个元素构成集合.若的所有元素之和为偶数，则称为集合的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为集合的奇子集，其个数记为.
（1）求，的值；
（2）求；（结果用含的多项式表示）
（3）当为偶数时，证明：＋＝.

7 . 设集合，记M的含有三个元素的子集的个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n.
（1）求的值；
（2）猜想的表达式，并证明之．

8 . 平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.

9 . 已知集合，其中，表示中所有不同值的个数.
(1)若集合，求；
(2)若集合，求证：的值两两不同，并求；
(3)求的最小值.（用含的代数式表示）

10 . 在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.
（1）求；
（2）求；
（3）证明，并求出的值.