名校
1 . 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望
；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：
．
选择餐厅情况（午餐，晚餐） |
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甲 | 30天 | 20天 | 40天 | 10天 |
乙 | 20天 | 25天 | 15天 | 40天 |
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望
；(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
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2022-11-10更新
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1608次组卷
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5卷引用：福建省南安国光中学2023届高三上学期12月月考数学试题
2 . 为了庆祝香港回归25周年，某校高三年级组织了相关知识竞赛.已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：①学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；②每答对一个问题可以获取本题所对应的荣誉积分，答错或不答则不可获取本题所对应的荣誉积分，且只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题.已知学生
答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.
(1)若
，求学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；
(2)设学生按“丙、乙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为
，按“乙、丙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为
，证明：
.
答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.问题 | 甲 | 乙 | 丙 |
答对的概率 |
| 0.5 | 0.3 |
答对获取的荣誉积分 | 100 | 200 | 300 |
，求学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；(2)设学生
按“丙、乙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为，按“乙、丙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为，证明：.
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3 . 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了，
，
，
四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为
，
.
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记
为甲同学最终被招募的项目个数，已知
，
.
（1）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（2）求，的值；
（3）假设有十名报了项目的志愿者(不包含甲)调整到项目，试判断
如何变化(结论不要求证明).
，，，四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为，.| 项目 | 计划招募人数 | 报名人数 |
| 50 | 100 |
| 60 | |
| 80 | |
| 160 | 200 |
为甲同学最终被招募的项目个数，已知，.（1）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（2）求
，的值；（3）假设有十名报了项目
的志愿者(不包含甲)调整到项目，试判断如何变化(结论不要求证明).
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2010·福建·三模
4 . 质点在
轴上从原点
出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为
，移动2个单位的概率为
，设质点运动到点
的概率为
．
（Ⅰ）求
和
；（Ⅱ）用
表示，并证明
是等比数列； （Ⅲ）求．
轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为．（Ⅰ）求
和；（Ⅱ）用表示，并证明是等比数列； （Ⅲ）求．
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