1 . 为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______．

2 . 鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具

	一等品	二等品	三等品
单件成本利润率	10%	8%	4%
频数	10	60	30

乙款鲁班锁玩具

	一等品	二等品	三等品
单件成本利润率	7.5%	5.5%	3%
频数	50	30	20

(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．

3 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．

4 . 某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？

5 . 甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为，乙队每局赢的概率为．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：
方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
(1)当时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为，讨论的大小关系；
(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

6 . 某商场记录了一周7天的客流量，整理得到下表：

日期	周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
日客流量（万人）	0.6	0.5	0.6	0.6	0.8	1.8	1.4

(1)商场计划在下周开展一项优惠活动，并设计了两个方案：
方案一：以天为单位，每天随机抽选100位当天到访顾客发放优惠券；
方案二：以周为单位，每周随机抽选700位当周到访顾客发放优惠券.
参考上面表格记录的客流量，你认为这两个方案哪一个更合理？说明理由；
(2)若这周商场收到了一封当天顾客写给商场的感谢信，求这封感谢信是周六收到的概率；
(3)为了调研顾客在商场驻留时间，随访了男、女顾客各50人，得到如下列联表：

	驻留时间少于1小时	驻留时间不少于1小时
男顾客	35	15
女顾客	20	30

能否有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关？
附：，其中.

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

7 . 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________．

8 . 近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式；
(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.

9 . 某人投了100次篮，设投完前n次的命中率为．其中，….100．已知，则一定存在使得（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.