1 . 2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？

2 . 为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得-1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得-1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束，再安排下一名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为和.
（1）在第一名物业人员投票结束后，A方案的得分记为，求的分布列；
（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

3 . 某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测次；
方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是.
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案：
方案一：将50人分成10组，每组5人；
方案二：将50人分成5组，每组10人.
试分析哪种方案的检测总次数更少？
(取，，)
（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为.若，试解决以下问题：
①确定关于的函数关系；
②当为何值时，取最大值并求出最大值.

4 . 某公司生产了两种产品投放市场，计划每年对这两种产品投入200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中产品的年收益，产品的年收益与投入（单位万元）分别满足；若公司有100名销售人员，按照对两种产品的销售业绩分为普通销售、中级销售以及金牌销售，其中普销售28人，中级销售60人，金牌销售12人
（1）为了使两种产品的总收益之和最大，求产品每年的投入
（2）为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制定了两种奖励方案：
方案一：按分层抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励：普通销售奖励2300元，中级销售奖励5000元；金牌销售奖励8000元
方案二：每位销售都参加摸奖游戏，游戏规则：从一个装有3个白球，2个红球（求只有颜色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到红球的总数为2，则可奖励1500元，若摸到红球总数是3，则可获得奖励3000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售均可参加1次摸奖游戏；中级销售均可参加2次摸奖游戏，金牌销售均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加）
（ⅰ）求方案一奖励的总金额；
（ⅱ）假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明，你会选择哪种方案奖励销售员.

5 . 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

6 . 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元;
方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元.
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数	0	1	2	3
机器台数	20	10	40	30

以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.
求的分布列；
以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？

7 . 我省年起全面实施新高考方案.在门选择性考试科目中，物理､历史两门学科采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为､､､和，并按给定的公式进行转换赋分.某市组织了高三年级期初统一考试，并尝试对生物学科的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分	98	96	95	92	90	88	85	83
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	2	1	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）该市此次高三学生的生物学科原始分服从正态分布.现随机抽取了该市名高三学生的生物学科的原始分，学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值.
附：若则，.

8 . 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，

9 . 2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.
（1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望.

10 . 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.
（1）若，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；
（2）若，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，
①求的概率分布；
②求.