1 . 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一,资格赛比赛规则如下:每位选手采用立姿射击60发子弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数,其中.写出一个的值,使.(结论不要求证明)
环数 | 6环 | 7环 | 8环 | 9环 | 10环 |
甲的射出频数 | 1 | 1 | 10 | 24 | 24 |
乙的射出频数 | 3 | 2 | 10 | 30 | 15 |
丙的射出频数 | 2 | 4 | 10 | 18 | 26 |
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数,其中.写出一个的值,使.(结论不要求证明)
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2 . 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题,某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查,得到两地区林下灌木层,乔木层,草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得数据如表1,表2所示:
表1:老山油松人工林林下灌木层
表2:妙峰山油松次生林林下灌木层
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株,求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率;
(2)以表格中植物类型的频率估计概率,从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响),记这3株植物的植物类型是灌木的株数为,求的分布列和数学期望;
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为.请直接写出与大小关系.(结论不要求证明)
表1:老山油松人工林林下灌木层
植物名称 | 植物类型 | 株数 |
酸枣 | 灌木 | 28 |
荆条 | 灌木 | 41 |
孩儿拳头 | 灌木 | 22 |
河朔荛花 | 灌木 | 4 |
臭椿 | 乔木幼苗 | 1 |
黑枣 | 乔木幼苗 | 1 |
构树 | 乔木幼苗 | 2 |
元宝槭 | 乔木幼苗 | 1 |
植物名称 | 植物类型 | 株数 |
黄栌 | 乔木幼苗 | 6 |
朴树 | 乔木幼苗 | 7 |
栾树 | 乔木幼苗 | 4 |
鹅耳枥 | 乔木幼苗 | 7 |
葎叶蛇葡萄 | 木质藤本 | 8 |
毛樱桃 | 灌木 | 9 |
三裂绣线菊 | 灌木 | 11 |
胡枝子 | 灌木 | 10 |
大花溲疏 | 灌木 | 10 |
丁香 | 灌木 | 8 |
(2)以表格中植物类型的频率估计概率,从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响),记这3株植物的植物类型是灌木的株数为,求的分布列和数学期望;
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为.请直接写出与大小关系.(结论不要求证明)
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3 . 某医学小组为了比较白鼠注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组,每组10只,其中第1组注射药物A,第2组注射药物B.试验结果如下表所示.
(1)现分别从第1组,第2组的白鼠中各随机选取1只,求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率;
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验,求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望;
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内,“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内(),写出方差,的大小关系.(结论不要求证明)
疱疹面积(单位:) | |||||
第1组(只) | 3 | 4 | 1 | 2 | 0 |
第2组(只) | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 |
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验,求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望;
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内,“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内(),写出方差,的大小关系.(结论不要求证明)
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4 . 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲乙各猜一个成语,已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为;乙如果第k轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中,甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为,,,,则称为该条信息的信息熵(单位为比特),用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H;
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏,求证:.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为,,,,则称为该条信息的信息熵(单位为比特),用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H;
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏,求证:.
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解题方法
5 . 某商城进行促销活动,购买某产品的顾客可以参加一次游戏:在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个,顾客从中有放回地取出小球,直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球.设顾客停止取球时,取过的小球次数为,
(1)求;
(2)设,数列,求的通项公式;
(3)顾客停止取球时,取过的小球次数为,顾客可以获得对应的元奖金,其中,求证:.
(1)求;
(2)设,数列,求的通项公式;
(3)顾客停止取球时,取过的小球次数为,顾客可以获得对应的元奖金,其中,求证:.
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6 . 若,是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设的一切可能取值为,,记表示在中出现的概率,其中.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
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2024-03-29更新
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1680次组卷
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4卷引用:山东省潍坊市2024届高三一模数学试题
7 . 甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.
(1)设前三次投掷骰子后,球在甲手中的次数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)投掷次骰子后,记球在乙手中的概率为,求数列的通项公式;
(3)设,求证:.
(1)设前三次投掷骰子后,球在甲手中的次数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)投掷次骰子后,记球在乙手中的概率为,求数列的通项公式;
(3)设,求证:.
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解题方法
8 . 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
顾客人数 商品 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | × | √ |
217 | √ | √ | × | × |
200 | √ | √ | √ | × |
250 | √ | × | √ | × |
100 | × | × | × | √ |
133 | √ | × | √ | × |
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
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9 . 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如图,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
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10 . 某学生在上学路上要经过三个路口,在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下:
假设在各路口是否遇到红灯相互独立.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率;
(3)假设交管部门根据实际路况,5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟.估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况,是“增加,不变还是减少”.(结论不要求证明)
路口 | 路口一 | 路口二 | 路口三 |
遇到红灯的概率 | |||
遇到红灯停留的时间 | 3分钟 | 2分钟 | 1分钟 |
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率;
(3)假设交管部门根据实际路况,5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟.估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况,是“增加,不变还是减少”.(结论不要求证明)
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