1 . 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
(1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值；
(2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值.

2 . 袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
(2)记，求随机变量的分布列及数学期望.

3 . 现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为，则______.（第一空2分，第二空3分）

4 . 中国男子篮球职业赛，简称中职篮（CBA），总决赛一般采用“七局四胜”制，某赛季总决赛在甲、乙两支男子篮球队中进行，已知甲队每局获胜的概率均为.
(1)设甲队以获胜的概率为，求的最大值；
(2)若，用表示决出总冠军需要进行的比赛局数，求随机变量的分布列与数学期望.

5 . 今年，某著名高校三位一体综合评价招生的报名人数超过了18000名，为节省人力物力，设计了线上测试程序规则如下：第一轮测试，回答5个问题，若答对其中的4题或5题，则审核通过；否则进行第二轮答题，将答错的题替换为新题再次答题，若全部答对则审核通过，否则不通过．设每次答题相互独立，两轮测试互不影响，且答对每题概率均为．
(1)若，求仅需一轮测试的概率；
(2)记A同学的答题个数为X，求随机变量X的分布列，并证明：．

6 . 北京2022年冬奥会吉祥物冰墩墩，作为北京冬奥会当之无愧的“顶流”，热度一直未减.自2022年冬奥会开始，一系列冰墩墩特许商品新品开始发售.根据百度网站统计：2022年1月28日至2022年2月22日购买冰墩墩人群分布图如下图.

(1)求出频率分布直方图中购买者年龄的众数､平均数；（近似到个位数）
(2)若将年龄分别记为A组､B组､C组，用随机抽样的方法从这些人中抽取3人，求这三个人中至少2人在A组的概率.

7 . 学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？

8 . 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响.
(1)若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；
(2)若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望.

9 . 根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

10 . 箱中有个黑球，个白球，每个球被取到的概率相同，箱中没有球.我们把从箱中取个球放入箱中，然后在箱中补上个与取走的球完全相同的球，称为一次操作，这样进行三次操作.
（1）分别求箱中恰有个、个、个白球的概率；
（2）从箱中一次取出个球，记白球的个数为，求的分布列与数学期望.