4 . 某校为了增强学生的安全意识，组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）直接写出与满足的等量关系式（不必证明）；
（ⅲ）根据（ⅱ）的等量关系求表达式，并求满足的的最小值．

6 . 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（ⅲ）若，求的最小值．

7 . 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．
(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．

8 . 2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．

10 . 已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明：.