1 . 近年来，中国航天事业取得巨大成就.为发扬并传承中国航天精神，某校组织“航天知识”擂台赛，每场擂台赛共5局，每局胜者1分，负者0分，先得3分者为获胜者.分出胜负，比赛立即结束，现有甲、乙两名参赛者进行比赛，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，若第三局比赛结束分出胜负的概率为.
(1)求；
(2)设比赛结束时的比赛局数为，求的分布列和数学期望.

2 . 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

3 . 某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：①每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；
②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，.
(1)求两超市的月需求总量为1000件的概率；
(2)已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，并说明理由.

4 . 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．

5 . 一个均匀的正四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色．若以A，B，C分别记投掷一次该四面体，底面有红、白、黑色的三个事件，试判断A，B，C是否两两独立，是否相互独立．

6 . 在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立.
(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；
(2)若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求.

7 . 选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．
（1）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？

8 . 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为__________；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：）

9 . “练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲､乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为X，求X的分布列；
（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.

10 . 甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．
（1）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；
（2）下午的正式比赛中：
①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；
②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？