1 . 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
(1)求出维“立方体”的顶点数；
(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
①求的分布列与期望；
②求的方差．

3 . 某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目.
①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.

4 . 某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员该店随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性星级会员名，女性星级会员名．
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关

	男性会员	女性会员	合计
星级会员
普通会员
合计

附：，其中．(2)该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动有如下两种方案．
方案一：店内商品一律九折优惠；
方案二：会员可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球个球除颜色外其他均相同的箱子里，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若三次都没有摸到红球，则无优惠若三次摸到个红球，则获得九折优惠若三次摸到个红球，则获得八折优惠若三次摸到个红球，则获得七折优惠．
哪种方案对会员更有利请说明理由

5 . 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义的信息熵.下列正确的为（       ）

A．若，则

B．若，则随着的增大而增大

C．若，则随着的增大而增大

D．若，随机变量所有可能的取值为1，2，…，m，且，则

6 . 现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将对一组动物（共10只）进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．若试验只需一轮注射的概率为，需要注射第二轮的概率为，且该组中某一只动物在这次试验中只被注射一次的概率为（均用含的多项式表示），再设该组动物总共需要注射的次数的数学期望为，则（       ）

A．	B．
C．	D．

7 . 某公司对项目A进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：

项目A投资金额x（百万元）	6	5	4	3	2
所获利润y（百万元）	0.9	0.8	0.4	0.2	0.2

(1)用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；
(2)该公司有4位股东甲、乙、丙、丁，由于公司还有其它项目可供选择，需要股东对项目A是否投资发表意见，其中甲、乙、丙同意投资项目A的概率均为，丁同意投资的概率为，且4位股东是否同意相互独立，设4位股东同意的人数为随机变量，求随机变量的概率分布及数学期望．
参考公式：相关系数．
参考数据：统计数据表中．

8 . 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
(2)该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：

方案	防控等级	费用（单位：万元）
方案一	无措施	0
方案二	防控1级灾害	80
方案三	防控2级灾害	200

试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

9 . 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款.根据2019年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如表：

	1	2	3	4	5
	75	84	93	98	100

(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到.
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率；
(3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率：，.