解题方法
1 . 正态分布是最重要的一种概率分布,它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出,但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作
.当
,
的正态分布称为标准正态分布,如果令
,则可以证明
,即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布,如果
,那么对任意的a,通常记
,也就是说,
表示
对应的正态曲线与x轴在区间
内所围的面积,为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现,本次检测的数学成绩X近似服从正态分布
.则下列说法正确的有( )
参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布
对应的概率值.
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参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c341814666238b9884e6704321da3d3e.png)
a | 0.24 | 0.25 | 0.26 | 0.35 | 0.36 |
0.5948 | 0.5987 | 0.6064 | 0.6368 | 0.6406 |
A.已知![]() ![]() |
B.![]() |
C.按以往的统计数据,该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占![]() |
D.已知该市考生约有10000名,某学生此次检测数学成绩为110分,则该学生在全市排名大概位于![]() |
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名校
2 . 2024年3月某学校举办了春季科技体育节,其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球
,已知这种球的质量指标
(单位:
)服从正态分布
,其中
.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军,积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队,1班排球队积26分,2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队,设每局比赛1班排球队取胜均概率为
.
(1)令
,则
,且
,求
,并证明:
;
(2)第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为
,求出
的最大值点
;
(3)以(2)中
作为
的值,在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为
,求
的分布列.
参考数据:
,则
,
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c1ed67167078ea4f5f1ee53ee14164.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ded2c4797733663f5ebcb2050e59b8e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44fed1be8b7e50f18cb90077d9fce8e4.png)
(1)令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8196414a210178238536a8d069756586.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d677f8118b59929277b58a6eba2901d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f05444087e2b1e117ec5fec0cd54d674.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc467da65547162d611315c463607776.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ae7f603685353d72babb17cda8e7621.png)
(2)第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed1f109f79547d6ae0d94339e689e8f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed1f109f79547d6ae0d94339e689e8f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3606c4a853a6a34cb7f33bea81b15a1f.png)
(3)以(2)中
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参考数据:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c1ed67167078ea4f5f1ee53ee14164.png)
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名校
解题方法
3 . 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量
,定义其累积分布函数为
.已知某系统由一个电源和并联的
,
,
三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.
(1)已知电源电压
(单位:
)服从正态分布
,且
的累积分布函数为
,求
;
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量
(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为
.
(ⅰ)设
,证明:
;
(ⅱ)若第
天元件
发生故障,求第
天系统正常运行的概率.
附:若随机变量
服从正态分布
,则
,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c81fcdb5bda8966e5e174cf2e1174a8e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff4489d9b83072184c0e1d6b09be50ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea1e8babee63bfc889ae5a34632284bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca66a268d6f46e0e9d5d9151b785be60.png)
(1)已知电源电压
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/478abdd84506a8ef759e353a238db6c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8447fa144fdfd052f288759294b93daa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61c388166862b3ccfcc7ca749ebe5949.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a103c8c232a82912923aec7a3f837df.png)
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd7df60b9ed6d12152088dad33162570.png)
(ⅰ)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f9a9793d0ce6ccb20dc7972d59e73f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35a5f7d814c566dd91e57d67d4aefa43.png)
(ⅱ)若第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff4489d9b83072184c0e1d6b09be50ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0876215b2fd463d151523cd3c6b447.png)
附:若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e84c2c26cbb6b22a415fd0830401aeac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9989aaa04261bc481b7ddd91a518966a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d123dfa6953a7bb2197171dcf10d32a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36d97830c7eddd7f1f7a3dfa0c751f78.png)
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2024-02-20更新
|
1279次组卷
|
3卷引用:2024届高三星云二月线上调研考试数学试题
名校
解题方法
4 . 已知某系统由一个电源和并联的
三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.
(1)电源电压
(单位:
)服从正态分布
,且
的累积分布函数为
,求
.
(2)在统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量
(单位:天)表示某元件的使用寿命,
服从指数分布,其累积分布函数为
.
(ⅰ)设
,证明:
;
(ⅱ)若第
天只有元件
发生故障,求第
天系统正常运行的条件概率.
附:若随机变量
服从正态分布
,则
,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
(1)电源电压
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/515c70580e9f247fe27b2f0c964bc5ba.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/166b72040b0aa1e70564fa174b91f6b4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eeb8c83d6dd000e7c0180d91ed146a90.png)
(2)在统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/85d377090d1f35e2b0f2061052e238a8.png)
(ⅰ)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f9a9793d0ce6ccb20dc7972d59e73f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c7ac9cc03bbbb308beaa88f424fc1dc.png)
(ⅱ)若第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0876215b2fd463d151523cd3c6b447.png)
附:若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/34f77553716bd8b2f4680893d6d496b4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbd61d3462563f0964a9fde5537eaef5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42373c7a83e1e876aa12d7e6ac028a17.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28613181e6953c9858da252bfd62c569.png)
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名校
5 . 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为
,其平均数记为
,方差记为
;把第二层样本记为
,其平均数记为
,方差记为
;把总样本数据的平均数记为
,方差记为
.
(1)证明:
;
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为
和
的估计值.如果按照
的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为
四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:
.
性别 | 参加考试人数 | 平均成绩 | 标准差 |
男 | 30 | 100 | 16 |
女 | 20 | 90 | 19 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79ae6558e11384a40f3a338b73385ee1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfbe7f95b5d89f9409ec24536da9e826.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfbc29b47b83fdc5368770b7b1acb439.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5b3107354f055c708208a37ab66b30f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb525270c748eddaaecc4a549cca250e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab1295cbd36fdc55a55b549aa2dd5887.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d41042207515dd2e8349c805e6aee400.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/671f43c79d612c93a6d160335e86e177.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/217223e16eb491561c4ca844c0b52f81.png)
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c0ad7e7853a069537387b5192f73844.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4cb65fd949bae6f2d638b4b7a67aaa75.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c82a10b4f0c9323d726804c89dd9548.png)
附:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e53bcf5dca65c16335bc356bcd5a36ef.png)
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2024-04-26更新
|
2071次组卷
|
5卷引用:安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
名校
解题方法
6 . 正态分布是最重要的一种概率分布,它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出,但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作
.当
,
的正态分布称为标准正态分布,如果令
,则可以证明
,即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果
那么对任意的a,通常记
,也就是说,
表示
对应的正态曲线与x轴在区间
内所围的面积.某校高三年级800名学生,期中考试数学成绩近似服从正态分布,高三年级数学成绩平均分100,方差为36,
,那么成绩落在
的人数大约为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c346aed248626bc50e0059d30638598a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ad39768ebe8d7a3a0fd09efe7e200ad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6095d3cc6af6cc00646493bcfeda216.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42b131a8c055c267ca12df3ccbecbf04.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62f46bb6be3519a7a3833897391725eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62f46bb6be3519a7a3833897391725eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d6339230e4f785b863d7f3dd4e937627.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/440ea74836f88c193edee6c9bc5cb5e2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37bbde2076bfa6dd859f7787e155ab8e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6b0d1bf2a242aa503ae0db3a47a58daa.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee23e10aeedd6786eb701e8d9374b94a.png)
A.756 | B.748 | C.782 | D.764 |
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2022-01-23更新
|
1924次组卷
|
10卷引用:第八章 概率(单元重点综合测试)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(苏教版2019选择性必修第二册)
(已下线)第八章 概率(单元重点综合测试)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(苏教版2019选择性必修第二册)辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题辽宁省鞍山市第一中学2021-2022学年高三下学期4月线上模拟考试数学试卷(已下线)第03讲 正态分布-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义(苏教版2019选择性必修第二册)辽宁省朝阳市建平县实验中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试卷(已下线)正态分布(已下线)7.5 正态分布(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)8.3 正态分布(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)第七章 随机变量及其分布 全章总结 (精讲)(3)辽宁省沈阳市第十五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题
名校
7 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量,服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理,它表明,若随机变量
,当n充分大时,二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似,且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了
的特殊情形,1812年,拉普拉斯对一般的p进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次,则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( )(附:若
,则
,
,
)
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A.0.1587 | B.0.0228 | C.0.0027 | D.0.0014 |
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2022-05-13更新
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2283次组卷
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18卷引用:专题04随机变量及其分布(6大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(新高考专用)
(已下线)专题04随机变量及其分布(6大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(新高考专用)广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题福建省厦门市2022届高三毕业班第四次质量检测数学试题福建省龙岩第一中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题(已下线)专题12 四大分布:两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试(人教A版2019)(已下线)期末押题预测卷04(考试范围:选修二+选修三)-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试(人教A版2019)(已下线)8.3 分布列(精练)(已下线)考向43二项分布、正太分布及其应用(重点)-2(已下线)江苏省盐城市、南京市2022届高三上学期1月第一次模拟考试数学试题变式题1-5江西省南昌市第十中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题(已下线)第七章 随机变量及其分布 全章总结 (精讲)(3)四川省成都市简阳市阳安中学2023届高三三诊模拟考试数学(理科)试题新疆石河子第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题河北省石家庄市2022-2023学年高二下学期期末数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题吉林省长春市十一高中2022-2023学年高二下学期期末数学试题陕西省西安市陕西师范大学附属中学渭北中学2023届高三三模理科数学试题河北省石家庄四十一中2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题