1 . 类比于平面三角形中的余弦定理,我们得到三维空间中的三面角余弦定理;如图1,由射线PA、PB、PC构成的三面角
,
,
,
,二面角
的大小为
,则
.
,平面
平面ABCD,
,
,求
的余弦值;
(2)当
、
时,证明以上三面角余弦定理;
(3)如图3,斜三棱柱
中侧面
,
,
的面积分别为
,
,
,各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为
,
,
,请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论,并证明.
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(2)当
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(3)如图3,斜三棱柱
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2022-12-25更新
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530次组卷
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4卷引用:上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题
上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(已下线)第五篇 向量与几何 专题17 三正弦定理、三余弦定理 微点2 三正弦定理、三余弦定理综合训练(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点13 三正弦定理与三余弦定理综合训练【培优版】广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
名校
2 . 在平面直角坐标系内,我们知道ax+by+c=0(a、b不全为0)是直线的一般式方程.而在空间直角坐标系内,我们称ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0)为平面的一般式方程 .
(1)求由点
,
,
确定的平面的一般式方程;
(2)证明:
为平面ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0)的一个法向量;
(3)若平面
的一般式方程为ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0),
为平面
外一点,求点P到平面
的距离.
(1)求由点
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(2)证明:
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(3)若平面
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3 . 材料1:三棱锥有4个顶点,6条棱,4个面;正方体有8个顶点,12条棱,6个面;三棱柱有个6顶点,9条棱,5个面;...,通过观察发现:这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律:
;在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体,其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体(同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气,它能膨胀变为一个球,那么可以认为它与球同胚).正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的
条射线,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角.例如,正四面体的四个面都是全等的三角形,每个顶点有一个三面角,共有四个三面角,可以完全重合,也就是说它们是全等的.正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示.我们可以看到,正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交,每一条棱处有两个面相交.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/14/899f3acd-fef6-450f-971c-257875b31453.png?resizew=610)
材料2:1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它是形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形;
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/14/8aaa9b39-0cba-4f0a-86f8-4d9c1c87c08e.png?resizew=92)
(1)阅读上述材料,请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数,并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式(不需要证明);
(2)请结合上述材料,在下面两个问题中选择一个回答,并写出解答过程.)问题1:请问C60的分子结构模型中,有几个五边形?问题2:简单多面体中是否存在正十六面体?如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状;如果不存在,请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b904a9bf015804793a5bbb021d8db0e.png)
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材料2:1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它是形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形;
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(1)阅读上述材料,请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数,并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式(不需要证明);
(2)请结合上述材料,在下面两个问题中选择一个回答,并写出解答过程.)问题1:请问C60的分子结构模型中,有几个五边形?问题2:简单多面体中是否存在正十六面体?如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状;如果不存在,请说明理由.
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解题方法
4 . 开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体
中棱
,
,
两两垂直,那么称四面体
为直角四面体.请类比直角三角形
(
表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体
中的两个性质,并给出证明.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/17/2744873475547136/2748343588134912/STEM/165b547f6ead4a82b50c3e0c4fd0adc8.png?resizew=352)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e6e490f703eb6c9bb1278c78ebc2d661.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d004d2d115b477ade6af7ddb93db0df8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fd17a66a2af938c89e46f22e4d893b1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/17/2744873475547136/2748343588134912/STEM/165b547f6ead4a82b50c3e0c4fd0adc8.png?resizew=352)
直角三角形![]() | 直角四面体![]() | |
条件 | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
结论1 | ![]() | |
结论2 | ![]() |
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名校
解题方法
5 . 如图1,与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.设O是△ABC的内切圆圆心,
内是△ABC的内切圆半径,设
是△ABC的面积,
是△ABC的周长,由等面积法,可以得到
内
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/29/e3da696e-d797-4178-ab24-f0087aafa165.jpg?resizew=358)
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球.设三棱锥的体积是
,表面积是
,请用类比推理思想,写出三棱锥的内切球的半径公式
内(只写结论即可,不必写推理过程);
(2)如图2,在三棱锥
中,
,
,
两两垂直,且
,求三棱锥
的内切球半径和外接球的半径之比.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5cbff84327e964f912a54032e76ccc9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a8c261982132e55c19fd25ad50c6f3b5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4fcc80a88cb1dc8fd4184f5b8225814.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/29/e3da696e-d797-4178-ab24-f0087aafa165.jpg?resizew=358)
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球.设三棱锥的体积是
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
(2)如图2,在三棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63397cda22cb1fad59cf966dfb588643.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd33764ff4efddfe11a98a609753715c.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50094bfee564d9c1b03088ac2ece28c3.png)
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2021-12-29更新
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442次组卷
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3卷引用:江西省抚州市七校2021-2022学年高二下学期期末考试科数学(文)试题