1 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:
,其中
表示虚数单位,
是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:
其中的感叹号!表示阶乘
,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
;②
;
(3)求出角度
的
倍角公式(用
表示,
).
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(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
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(3)求出角度
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2 . 欧拉公式:
(
为虚数单位,
),是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将指数函数的定义域扩大到了复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,它被誉为“数学中的天桥”.
(1)根据欧拉公式计算
;
(2)设函数
,求函数
在
上的值域.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fdc0ab4d45a4bef21ba8ae793f2e76f3.png)
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(1)根据欧拉公式计算
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9ac408521487ac9928cdf11755123f2.png)
(2)设函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88007d2f3f8ba2f04fa067bcac670459.png)
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3 .
被称为“欧拉公式”,之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b58a6a143689e5ed2b3c688d45e251e.png)
,则我们可以简化复数乘法
.
(1)已知
,求
;
(2)已知O为坐标原点,
,且复数
在复平面上对应的点分别为
,点C在
上,且
,求
;
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式,过程如下:
,所以
.
类比上述过程,求出
.(将
表示成
的式子,将
表示成
的式子)(参考公式:
)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b58a6a143689e5ed2b3c688d45e251e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ebd10f0306210459baee301dd367ff59.png)
(1)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cbe7c60d94b95c996840172915eb6069.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6da4e6752d8c8a0705194f2b2f16ab5d.png)
(2)已知O为坐标原点,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2b08933abf71f9fcb7b284d0bbb5438.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90d860cb86e1467ac24010aecfc7a425.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd98a41e273bf640e0d567365fd20077.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d54eacd5cf71d799a3a9e73e929795b.png)
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式,过程如下:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3b47c4f23b5bb2ef3865facaf628223.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e82564733fce91b617f1199dae622fbc.png)
类比上述过程,求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4255fe1b4ac0018a1270e18a6ac9ab31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/864590e14d56eac2957323152c6b4b29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a48345d239aaf8e9ca1ff2846c08a99.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2d6c547202109017a8fd210e12b32ba.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66db91bb3be9e2b6ad567774e3699758.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cee85d22b9fd3c1afea0688617132365.png)
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4 . 欧拉公式
(
为虚数单位,
)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/45a83cdb6190f46cdd353002f7c869a0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a7035cd4adda5d72a9fc9f9fda75995.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a57996290794e082b21d8f1dfc322a.png)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() ![]() |
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2024-04-05更新
|
522次组卷
|
3卷引用:浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题安徽省芜湖市第十二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(已下线)第十章:复数章末重点题型复习(1)-同步精品课堂(人教B版2019必修第四册)
解题方法
5 . 欧拉公式
(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,依据欧拉公式,下列选项不正确的是( )
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A.复数![]() ![]() | B.若![]() ![]() |
C.复数![]() | D.复数![]() ![]() |
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6 . 棣莫佛(Demoivre,
是出生于法国的数学家.由于在数学上成就卓著,他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士.棣莫佛定理为:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe91d9a2e1967e6c5344bdaa6ef35594.png)
,这里
.若
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/258e40e3883271c3580c1d3c805dcac6.png)
_________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eeaa25c80bbec10b66a17cd32896651d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe91d9a2e1967e6c5344bdaa6ef35594.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e665131f9f9341025f6c0ec63218a59.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb601861f9d3258337ceee6ad54c8c64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db2c20bbc4971c410cea3de1dab257b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/258e40e3883271c3580c1d3c805dcac6.png)
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2022-07-12更新
|
650次组卷
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8卷引用:浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题
浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题山东省枣庄市2021-2022学年高一下学期期末数学试题山东省临沂市费县实验中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题高考新题型-复数(已下线)模块四 专题1 小题入门夯实练(2)(人教B)广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题(已下线)高一 模块3 专题1 第4套 小题入门夯实练 (已下线)高一 模块3 专题1 第4套 小题入门夯实练(苏教版)
7 . 中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式,平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.若复数
(i为虚数单位),则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d38cfacb377d5b320df5ecd63b6fa6a9.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88d138e0ee19026826b8040eaa6b9654.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d38cfacb377d5b320df5ecd63b6fa6a9.png)
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8 . 人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展,从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时,首先引进了
,17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”,用
表示复数,并在直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程
,则
( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c789a7cd7ac2b8b96dc879c6c8161ee4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8fe7f5bc82c3934b31eb281c25eecd47.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87dd0b19a348b6758aa07cf6dae5986e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2d67321ace1e6b3be0fc0e5e8130022.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-05-31更新
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927次组卷
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7卷引用:浙江省绍兴市柯桥区2022届高三高考及选考科目适应性考试数学试题
浙江省绍兴市柯桥区2022届高三高考及选考科目适应性考试数学试题(已下线)考向05 复数(重点)(已下线)考向03 复数 (重点)(已下线)专题02 复数-备战2023年高考数学母题题源解密(全国通用)高考新题型-复数广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三上学期12月月考数学试题(已下线)黄金卷02
9 . 欧拉公式
把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数
和
联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被兴为“数学中的天桥”,若复数z满足
,则z的虚部是___________ ,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7e0aeeb125cfb42e33094594d4381f5.png)
___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5aa584db159b0f9bfae801d0134393b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aefd06c239145a2b6ae87a955aa51414.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de7d5ef3a3d9a03be91135fc426d57cc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7408fea41b8ec63a4768f0a427246ed9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7e0aeeb125cfb42e33094594d4381f5.png)
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解题方法
10 . 欧拉公式
(
为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,则复数
在复平面内对应的点位于( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f7563cd90b843b5732b4766b2aefede.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ae030cab8518e6862e11df2a926d397.png)
A.第一象限 | B.第二象限 |
C.第三象限 | D.第四象限 |
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