1 . 我们把(其中)称为一元次多项式方程.代数基本定理:任何一元次复系数多项式方程(即为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根(重根按重数计算).那么我们由代数基本定理可知:任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为个一元一次多项式的积.即,其中,为方程的根.进一步可以推出:在实系数范围内(即为实数),方程有实数根,则多项式必可分解因式.例如:观察可知,是方程的一个根,则一定是多项式的一个因式,即,由待定系数法可知,.
(1)在复数集内解方程:;
(2)设,其中,且.
(i)分解因式:;
(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
(1)在复数集内解方程:;
(2)设,其中,且.
(i)分解因式:;
(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
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2 . 阅读以下材料并回答问题:
①单位根与本原单位根:在复数域,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于的正整数,都有,则称这种复数为次本原单位根.例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
②分圆多项式:对于正整数,设次本原单位根为,则多项式称为次分圆多项式,记为;例如;
回答以下问题:
(1)直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想的结果,(将结果表示为的形式)(猜想无需证明);
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,复平面上一点所对应的复数满足,求的取值范围.
①单位根与本原单位根:在复数域,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于的正整数,都有,则称这种复数为次本原单位根.例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
②分圆多项式:对于正整数,设次本原单位根为,则多项式称为次分圆多项式,记为;例如;
回答以下问题:
(1)直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想的结果,(将结果表示为的形式)(猜想无需证明);
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,复平面上一点所对应的复数满足,求的取值范围.
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名校
3 . 已知复数.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若是关于的方程的一个根,求与的值.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若是关于的方程的一个根,求与的值.
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4 . 已知复数与互为共轭复数.
(1)判断在复平面内对应的点在第几象限,并说明理由;
(2)在复数范围内,解关于的一元二次方程.
(1)判断在复平面内对应的点在第几象限,并说明理由;
(2)在复数范围内,解关于的一元二次方程.
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解题方法
5 . 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
(1)若函数的对称中心为,求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而,一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程,在复数集内的根为,,则方程可变形为,展开得:则有,即,
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系,
①若,方程在复数集内的根为、、,当时,求的最大值;
②若,函数的零点分别为、、,求的值.
(1)若函数的对称中心为,求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而,一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程,在复数集内的根为,,则方程可变形为,展开得:则有,即,
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系,
①若,方程在复数集内的根为、、,当时,求的最大值;
②若,函数的零点分别为、、,求的值.
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6 . 在复平面内,复数对应的点为,i为虚数单位,且______.
从条件①;②为关于x的方程的一个根,且点位于第一象限;③,其中.选择一个填在横线上,并完成下列问题.(注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(1)求;
(2)若点Z为曲线(为的共轭复数)上的动点,求Z与之间距离的取值范围.
从条件①;②为关于x的方程的一个根,且点位于第一象限;③,其中.选择一个填在横线上,并完成下列问题.(注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(1)求;
(2)若点Z为曲线(为的共轭复数)上的动点,求Z与之间距离的取值范围.
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名校
解题方法
7 . 已知的顶点坐标分别为.若虚数是实系数一元二次方程的根,
(1)求点A、C的坐标;
(2)若是钝角,求b的取值范围.
(1)求点A、C的坐标;
(2)若是钝角,求b的取值范围.
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2022-06-28更新
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462次组卷
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4卷引用:湖北省恩施高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
湖北省恩施高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题上海市格致中学2021-2022学年高一下学期阶段性(二)数学试题江苏省盐城市阜宁中学2022-2023学年高一下学期第一次综合测试数学试题(已下线)高一下学期期末真题精选(易错60题20个考点专练)-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(人教A版2019必修第二册)
名校
解题方法
8 . 已知方程的两复数根分别为,,其中的虚部大于0
(1)求复数,;
(2)若复数,且,求实数的取值范围
(1)求复数,;
(2)若复数,且,求实数的取值范围
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2022-06-07更新
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305次组卷
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2卷引用:湖北省襄阳市第五中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题
名校
9 . 已知复数(为虚数单位).
(1)若,求复数的共轭复数;
(2)若z是关于x的方程的一个虚根,求实数m的值.
(1)若,求复数的共轭复数;
(2)若z是关于x的方程的一个虚根,求实数m的值.
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2022-04-25更新
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379次组卷
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22卷引用:湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题
湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题【全国市级联考】江苏省淮安市2017-2018学年度第二学期高二年级期末调研测试数学(文)试题人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十章 10.2.2 复数的乘法与除法人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第七章 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题山东省济宁市邹城一中2019-2020学年高一数学下学期期中检测试题山东省泰安市新泰市第二中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题山东省博兴县第一中学2019-2020学年高一下学期开学检测数学试题江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学试题(已下线)【新教材精创】10.2.2复数的乘法与除法(2)练习(1)(已下线)第02章 复数(A卷基础卷)-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷(苏教版)上海市松江二中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(已下线)专题2.3 复数【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习(沪教版)(已下线)期末测试二(A卷基础篇)- 2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷(新教材苏教版)江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题湖南省长沙市周南中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 (已下线)第18讲 复数全章复习(练习)-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义(沪教版2020必修第二册)(已下线)第十章 复数 10.2 复数的运算 10.2.2 复数的乘法与除法江苏省镇江中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题(已下线)模块三 专题5 大题分类练(复数)基础夯实练(人教A)(已下线)模块三 专题6(复数)基础夯实练(北师大版)(已下线)模块三 专题7 大题分类练(复数)基础夯实练(苏教版)
名校
解题方法
10 . 已知复数,,为虚数单位.
(1)若在复平面内对应向量,将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为,求;
(2)若是关于x的方程的一个根,求实数m与n的值.
(1)若在复平面内对应向量,将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为,求;
(2)若是关于x的方程的一个根,求实数m与n的值.
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2022-04-23更新
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455次组卷
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4卷引用:湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题(已下线)12.4 复数的三角形式(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(苏教版2019必修第二册)山西省晋城市第一中学校2022-2023学年高一下学期第二次调研数学试题(已下线)第七章 本章综合--归纳本章考点【第一课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路