1 . 已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示,根据图形特点,称曲线为“猫眼曲线”.特别地,若两个椭圆离心率相等,则称为“优美猫眼曲线”. (1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列,公比为,判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”.若曲线经过点,求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程.
(2)对于(1)中所求的“猫眼曲线”,作直线(斜率为,且).
①若直线不经过原点O,且与组成的两个椭圆都相交,交椭圆所得弦的中点为, 交椭圆所得弦的中点为,如图1所示,是否为与无关的定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
②若直线的斜率与椭圆相切,交椭圆于两点,Q为椭圆上与不重合的任意一点,如图2所示,求面积的最大值.
(2)对于(1)中所求的“猫眼曲线”,作直线(斜率为,且).
①若直线不经过原点O,且与组成的两个椭圆都相交,交椭圆所得弦的中点为, 交椭圆所得弦的中点为,如图1所示,是否为与无关的定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
②若直线的斜率与椭圆相切,交椭圆于两点,Q为椭圆上与不重合的任意一点,如图2所示,求面积的最大值.
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解题方法
2 . 在椭圆中,直线上有两点C、D (C点在第一象限),左顶点为A,下顶点为B,右焦点为F.
(1)若∠AFB,求椭圆的标准方程;
(2)若点C的纵坐标为2,点D的纵坐标为1,则BC与AD的交点是否在椭圆上?请说明理由;
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P,直线AD与椭圆相交于点Q,若P与Q关于原点对称,求的最小值.
(1)若∠AFB,求椭圆的标准方程;
(2)若点C的纵坐标为2,点D的纵坐标为1,则BC与AD的交点是否在椭圆上?请说明理由;
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P,直线AD与椭圆相交于点Q,若P与Q关于原点对称,求的最小值.
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解题方法
3 . 已知椭圆的左右焦点分别为,上顶点为B,离心率为e,点P在椭圆上(异于点B).
(1)若椭圆C经过点及,求的取值范围;
(2)记直线的斜率分别为,若,且,求椭圆C的离心率.
(1)若椭圆C经过点及,求的取值范围;
(2)记直线的斜率分别为,若,且,求椭圆C的离心率.
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4 . 已知椭圆:经过点,离心率为,点为椭圆的右顶点,直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求面积的最大值;
(3)若,求证:为定值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求面积的最大值;
(3)若,求证:为定值.
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