1 . 随着航天技术的不断发展，人类宇航员可以登陆一些未知星球。一名宇航员在登陆某星球后，为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球托举到距星球表面的高度为h处由静止释放，计时仪器测得小钢球从释放到落回星球表面的时间为t。此前通过天文观测测得此星球的半径为R，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力。已知引力常量为G。
（1）求此星球的第一宇宙速度；
（2）求此星球的质量M和密度ρ；
（3）除了上述测量未知星球质量的方法外，你还能设计出什么测量星球质量的方法？请写出设计方案并对方案中所涉及到的物理量加以说明。
（4）现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起。如图所示，设某双星系统中的两星为A和B，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动。由天文观察测得其运动周期为T，A到O点的距离为r₁，A和B的距离为r，求A和B的质量。

3 . 科学家通过天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双星系统。双星a、b以两者连线上的O点为圆心做匀速圆周运动，引力常量为G。若a、b到圆心的距离分别为和，圆周运动的周期为T。求
（1）双星a、b的质量之比；
（2）双星系统的总质量。

4 . 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是．
a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式；
b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式．
（2）天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G．求此双星系统的总质量．
（3）北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣．同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去．②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，这个关系对于其他天体也是正确的．③地球的质量，引力常量．
请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）．（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

5 . 双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲所示，A、B两星相距为L，其中A星的半径为R；绕O点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员登上了A星，并在A星表面竖直向上以大小为v₀的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为h。不计A星的自转和A星表面的空气阻力，引力常量为G，A星的体积V=。求：
（1）A星表面的重力加速度大小g；
（2）A星的平均密度ρ；
（3）B星的质量m_B。

6 . 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍，经观测某双星系统中两颗恒星A、B围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，已知恒星A、B之间的距离为L，A、B的质量之比3∶1，万有引力常量为G。求恒星A做匀速圆周运动的轨道半径及双星的总质量。

7 . 利用万有引力定律可以测量天体的质量。
（1）测地球的质量，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。若忽略地球自转的影响，求地球的质量。
（2）测“双星系统”的总质量，所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点Ｏ做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示。已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量。
（3）测月球的质量，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T₁，月球、地球球心间的距离为L_1.你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量。

8 . 牛顿发现的万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一。万有引力定律在应用中取得了辉煌的成就，应用万有引力定律能“称量”地球质量。
（1）已知地球表面两极处重力加速度大小为g，地球的半径为R，引力常量为G，求地球的质量。
（2）上述方法只能测量地球的质量，如果测太阳的质量，可以把日地系统看成双星系统。在日地系统中，若忽略其它星球的影响，可将太阳和地球看成“双星系统”，已知太阳和地球绕其连线上某点做匀速圆周运动的周期都为T，太阳、地球球心间距离为L。求太阳的质量（用（1）中的g、R、G和T、L表示）。

9 . 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。
（1）开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。
开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。
（2）天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。

10 . 学习了万有引力定律，我们可以应用该定律测量地球的质量。
（1）已知近地卫星的周期为，地球的半径为，引力常量为，求地球的质量。
（2）上述方法只能测量地球的质量，如果测月球的质量，可以利用双星系统。在地月系统中，若忽略其它星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”，已知月球和地球绕其连线上某点转动的周期都为，月球、地球球心间距离为。求月球的质量[用（1）中的、、和、表示]。