1 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

2 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.
(1)判断函数，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；
(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；
(3)求证：当时，函数一定是“类周期函数”.

3 . 已知函数，且是定义在上的奇函数．
（1）求实数t的值并判断函数的单调性（不需要证明）；
（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若在上有两个零点，求证：且．

4 . 已知函数（）.
（1）判断的单调性并用定义法证明；
（2）若函数为奇函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知定义在R上的函数满足，当时，．
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为R上的增函数；
（3）解关于x的不等式：（其中且a为常数）．

6 . 函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有．
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若，解不等式．

7 . 若对，恒有.
（1）求函数的解析式；
（2）令，求证：的充要条件是.

8 . 已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：

9 . 已知过原点的一条直线与函数的图象交于、两点，分别过点、作轴的平行线与函数的图象交于、两点.
（1）证明：点、和原点在同一直线上；
（2）当平行于轴时，求点的坐标.

10 . 已知函数.
（1）若不等式的解集包含，求a的取值范围；
（2）若的值域为A，且，证明：.