1 . 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．

(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．

2 . 已知圆C：及直线l：．()
(1)证明：直线l恒过定点；
(2)当m为何值时，直线l被圆C截得的弦长最长，并求此时直线的方程．

3 . 如图所示，在直三棱柱中，，且.

(1)求证：平面平面；
(2)若D是的中点，求三棱锥的体积.

4 . 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中（，2，…，，）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．

(1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，现已知在直四棱柱中，底面是菱形，，
①若四面体在点处的离散曲率为，证明：平面；
②若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，求直线与平面所成角的正弦值．

5 . 如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．

(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．

6 . 已知正方体的棱长为，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．

7 . 如图，在直三棱柱中，，是的中点，是线段上的点，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 在直三棱柱中，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，．
（ⅰ）求二面角的正切值；
（ⅱ）求直线到平面的距离．

9 . 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠A₁B₁C₁＝90°，A₁B₁＝B₁C₁＝AA₁＝2，顶点C在底面A₁B₁C₁上的射影为A₁C₁的中点，D为AC的中点，E是线段CC₁上除端点以外的一点．

（1）证明：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若三棱锥E﹣CDB₁的体积是三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积的，求的值．

10 . 如图，四棱锥中，，，，，，.

（1）求证：；
（2）求钝二面角的余弦值.