1 . 设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

2 . 已知各项都是正数的数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列满足：，，数列的前项和.求证：.

3 . 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项，
（2）设，，求证：.

4 . 设数列满足，.
（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；
（2）记，求数列的前n项和.

5 . 在数列中，，.
（1）证明，数列是等差数列.
（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.

6 . 已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0.
（1）若，求的值；
（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；
（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.

7 . 已知,用比较法证明:.

8 . 已知数列满足.
（1）计算；
（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.

9 . 数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.