1 . 数列的前n项和为，已知．
（Ⅰ）证明，数列的等比数列；
（Ⅱ）求证：．

2 . 设等比数列的最n项和，首项，公比.
（1）证明：；
（2）若数列满足，，求数列的通项公式；
（3）若，记，数列的前项和为，求证：当时，.

3 . 如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，那么称函数为“函数”．
（Ⅰ）若，，试判断函数和是否是“函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：
（Ⅱ）求证：若是单调函数，则它是“函数”；
（Ⅲ）若函数是“函数”，求实数满足的条件．

4 . 已知数列满足：，，.
（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）记（），用数学归纳法证明：，

5 . 已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

6 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：.

7 . 证明下列不等式：
(1)用分析法证明：；
(2)已知是正实数，且，求证：.

8 . 已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意三项均不成等比数列．

9 . 已知数列满足.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，为数列的前项和，求证：.

10 . 已知数列前项和为，满足，
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）设 ，求证：.