1 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.

2 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)证明：对任意的且，都有：.

3 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

4 . 已知椭圆C：（，c为椭圆的半焦距）的左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、.P为椭圆C上任意一点，且，当取得最大值时，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线与的斜率之积为，证明：直线l过定点.

5 . 已知为坐标原点，过点的直线与抛物线C：交于两点.
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆：，证明：直线恒与圆相交.

6 . 已知函数.
(1)当 时，求的单调区间;
(2)证明: 当时，对任意的恒成立.

7 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，证明：当时，．

8 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左，右焦点分别为，，不过点的直线：与椭圆交于，两点.
（i）若，且，求的值；
（ii）若轴上任意一点到直线与的距离相等，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.

9 . 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求整数a的最大值；
（3）证明：．

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.