1 . 在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值.

2 . 已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)证明：在上，恒有．

3 . 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：．

4 . 已知的长轴长为4，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．

5 . 已知函数.
（1）当时，证明：函数单调递增；
（2）当时，令，若，求实数的取值范围.