1 . 已知椭圆，点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．
（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出该定值；
（2）试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．

2 . 已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．

3 . 已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．

4 . 已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程及点的坐标；
(2)已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：．

5 . 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.

7 . 已知椭圆，直线.
(1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点；
(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.

8 . 已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在上单调递增．

9 . 已知函数在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：在上单调递增.

10 . 已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：