1 . 设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．

2 . 已知函数，.
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，讨论在上的零点个数.

3 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．

4 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.

5 . 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．

6 . 已知抛物线，点
（1）求点与抛物线的焦点的距离；
（2）设斜率为的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

7 . 设函数.
(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.
(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.

8 . 已知曲线的焦点是，、是曲线上不同两点，且存在实数使得，曲线在点、处的两条切线相交于点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）点在轴上，以为直径的圆与的另一交点恰好是的中点，当时，求四边形的面积．

9 . 已知函数的导函数为，，且函数存在零点.
（1）求实数、的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（参考数据：方程的一个近似解）

10 . 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，，求的取值范围.