1 . 已知椭圆：（）过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若矩形各边均与椭圆相切，
①证明：矩形的对角线长为定值；
②求矩形周长的最大值.

2 . 已知椭圆，直线.
(1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点；
(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.

3 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.

4 . 设实数且，求证：．

5 . 设实数且，求证：．

6 . 设是已知的双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线．
(1)求双曲线的共轭双曲线的方程；
(2)求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上．

7 . 已知椭圆，离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形．

8 . 设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．

9 . 已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上截得的弦．
(1)试判断的长是否随圆心的运动而变化．并证明你的结论；
(2)当是与的等差中项时，抛物线的准线与圆有怎样的位置关系？并说明理由．

10 . 已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
(1)求的方程．
(2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．