1 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．

2 . 已知函数．
(1)若对时，，求正实数a的最大值；
(2)证明：；
(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．

3 . 已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．

4 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若不等式恒成立，求的最小值．

5 . 设函数.（为自然常数）
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

6 . 已知函数.
(1)求曲线处的切线方程；
(2)若方程有两个实根，且
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）求证：.

7 . 已知函数，若存在．（），使得．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．

8 . 已知函数（）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上有零点．
①求实数的取值范围；
②设函数，记在上的最小值为，求的最大值．

9 . 平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.关于原点的对称点为，圆的半径等于，以为圆心的动圆过且与圆相切.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程；
（2）四边形内接于曲线，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，设直线的斜率分别是，且.
（i）记直线的交点为，证明：点在定直线上；
（ii）证明：.

10 . 已知函数，.
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.