1 . 已知过圆C₁：x²+y²＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C₂：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

2 . 已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．

3 . 已知，当时恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求证：．

4 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

5 . 如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆C上一点，AF₁与y轴相交于点B，|AB|＝|F₂B|，|OB|＝.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，过A₁，A₂分别作x 轴的垂线l₁，l₂，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l₁，l₂分别交于M，N两点，求证：∠MF₁N＝∠MF₂N.

6 . 已知函数.其中.
（1）求的单调区间；
（2）设，是的两个极值点，求证：.

7 . 已知函数，其中．
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．
①求实数a的取值范围；
②求证：．

8 . 已知函数.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若，且在上有唯一的零点，求证：.

9 . 已知圆，圆．
（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；
（2）已知点，过点且斜率为的直线与（1）中轨迹相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

10 . 已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.