1 . 已知函数，其中，且.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，设，是的极大值点，求证：.

2 . 已知函数．
（1）求函数图象在处的切线方程．
（2）证明：．

3 . 已知函数.
（1）讨论在的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，证明：.

4 . 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别是椭圆的左右顶点，若点是上不同于的两点，且满，求证：的面积为定值．

5 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

6 . 已知椭圆的右焦点为，过点的直线（不与轴垂直）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为.
（1）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线过定点，并求点的坐标.

7 . 如图，已知抛物线，焦点为，过点作直线交抛物线于、两点，设、.

（1）若，求抛物线的方程；
（2）若直线与轴不垂直，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点.求证：直线与直线斜率之比为定值.

8 . 已知椭圆的右焦点为，若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线（不与轴垂直）与椭圆相交于、两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为.证明：直线过定点，并求点的坐标.

9 . 已知抛物线E：x²＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y₀)是E上一点，且|AF|＝2.
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.

10 . 已知函数在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.