1 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.

2 . 已知椭圆：的离心率为，是上一点.
(1)求的方程.
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.

3 . 求证下列问题：
(1)已知均为正数，求证:.
(2)已知，求证: 的充要条件是.

4 . 已知双曲线经过点（，1）
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知点P在椭圆C：上.
(1)P与椭圆的顶点不重合，过P作圆的两条切线，切点分别为E，F，直线EF与x轴、y轴分别交于点M，N.求证：为定值；
(2)若，过P的两条直线交C于A，B两点，两直线PA，PB的斜率之和为0，求直线AB的斜率.

6 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，设是的两个极值点，求证；．

7 . 已知函数存在两个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.

8 . 已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点，不过的动直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标．

9 . 已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点（Q与A，B不重合），证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M是C上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点且在第四象限，，过点P作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆C交于点A，B（A，B与P不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论．