1 . 已知函数与有相同的最大值（其中e为自然对数的底数）．
(1)求实数的值；
(2)证明：，都有；
(3)若直线与曲线有两个不同的交点，，求证：．

3 . 已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)若在与处的切线斜率互为相反数，求的值；
(2)设存在极值点.
（i）证明：；
（ii）设，且，求的取值范围.

4 . 已知函数，.
(1)若函数在定义域内恒成立，求实数m的取值范围；
(2)证明：.

5 . 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆的上顶点为为坐标原点，过两点的圆与交于两点，直线分别交椭圆于异于的两点.证明：直线过定点.

6 . 已知函数．
(1)是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
(2)已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，.
①求证：；
②求证：．

7 . 如图，已知抛物线上的点R的横坐标为1，焦点为F，且，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.

(1)求抛物线C的方程；
(2)（i）求证：为定值；
（ii）设，的面积分别为，求的最小值.

8 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.

9 . 已知函数，在定义域上有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证

10 . 已知函数与函数
(1)若，求的取值范围；
(2)若曲线与轴有两不同的交点，求证：两条曲线与共有三个不同的交点.