1 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左､右焦点，为顶点的三角形的周长为6，双曲线的顶点是椭圆的焦点，离心率为.设为双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线､的斜率分别为､，求证：为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

3 . 已知圆和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求证：为定值，并求曲线的方程；
(2)若曲线与轴的正半轴交于点，直线与曲线交于两点，且的面积是，求实数的值.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；
(3)若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于、两点，求证：．

5 . 已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．

6 . 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．
(3)已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

7 . 已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
(1)求抛物线和双曲线标准方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．

8 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若方程有两个不同的实数根.
（i）求的取值范围；
（ii）若，求证：. (参考数据：)

9 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

10 . 是双曲线C：上任意一点.
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)，求的最小值．