名校
1 . 如图，已知曲线
，曲线
，
是平面上一点，若存在过点的直线与
都有公共点，则称为“
型点”.
（1）证明：
的左焦点是“
型点”；
（2）设直线
与
有公共点，求证：
，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：
内的点都不是“型点”.
，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：
的左焦点是“型点”；（2）设直线
与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：
内的点都不是“型点”.
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真题
2 . 如图，过抛物线y2＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1
(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为
，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论．
(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为
，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论．
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3 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，左顶点为
，离心率为
，经过的直线交椭圆于
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过直线
上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为
，
①证明：直线
过定点；
②求
的最大值．
备注：若点
在椭圆C：
上，则椭圆C在点处的切线方程为
．
的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，经过的直线交椭圆于两点，的周长为8．(1)求椭圆
的方程；(2)过直线
上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为，①证明：直线
过定点；②求
的最大值．备注：若点
在椭圆C：上，则椭圆C在点处的切线方程为．
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4 . 在平面直角坐标系
中，过方程
所确定的曲线C上点
的直线与曲线C相切，则此切线的方程
.
（1）若
，直线
过
点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；
（2）若
，
，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线
于M，交直线
于N，证明：
；
（3）若
，
，过坐标原点斜率
的直线
交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求
的值.
中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程.（1）若
，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；（2）若
，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：；（3）若
，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值.
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2021-06-03更新
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1484次组卷
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6卷引用：上海市格致中学2021届高三三模数学试题
上海市格致中学2021届高三三模数学试题（已下线）考向26 圆与方程-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）山东省青岛市青岛第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）高二下学期第一次月考卷（测试范围：沪教版2020选修一前两章）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
解题方法
5 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点
，且与直线
相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线
.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线
、
与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为
、
的中点.设与 的斜率依次为
、
，若
，求证：直线 MN恒过定点.
，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线
的方程；（Ⅱ）过点F的两条直线
、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.
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2021-01-10更新
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2839次组卷
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8卷引用：湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测数学试题
湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测数学试题（已下线）重难点 04 解析几何-2021年高考数学（理）【热点·重点·难点】专练宁夏银川一中2021届高三第六次月考数学(理)试题（已下线）文科数学-学科网2021年高三3月大联考考后强化卷（新课标Ⅲ卷）（已下线）专题21 抛物线综合-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）江苏省盐城市滨海中学2021届高三下学期一模模拟数学试题甘肃省民勤县第一中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学（文）试题四川省资阳市安岳县安岳中学2020-2021学年下学期高二数学（理）开学考试试卷（试点班）
名校
解题方法
6 . 已知
，
，直线
，
相交于点
，且它们的斜率之积是
.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点
的直线与轨迹交于点
，与
交于点，过
作
的垂直线交轴于点，求证：
.
，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.（1）求点
的轨迹的方程；（2）过点
的直线与轨迹交于点，与交于点，过作的垂直线交轴于点，求证：.
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解题方法
7 . 已知抛物线
的焦点为
，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点
，交
轴的正半轴于点．
(1)若当点的横坐标为
，且
为等边三角形，求的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线，若点
，记点关于轴的对称点为
，
交轴于点，且
，求证：点的坐标为
，并求点到直线的距离
的取值范围．
的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．(1)若当点
的横坐标为，且为等边三角形，求的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线
，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．
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8 . 已知抛物线
的焦点F与双曲线
的一个焦点重合，D为直线
上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点
的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线
过定点
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9 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与圆
相切，与椭圆相交于
两点.
①若直线过椭圆的右焦点，且与圆
切于第一象限，求
的面积；
②求证：
的值为定值.
中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆
的标准方程；（2）设直线
与圆相切，与椭圆相交于两点.①若直线
过椭圆的右焦点，且与圆切于第一象限，求的面积；②求证：
的值为定值.
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2019高三下·全国·专题练习
10 . 已知抛物线的焦点为
为抛物线上位于第一象限内的点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点．
（1）若点的横坐标为，且
与双曲线
的实轴长相等，求抛物线的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为（不同于点），直线交轴于点．
①求证：点的坐标为；
②若，求点到直线的距离的取值范围．
的焦点为为抛物线上位于第一象限内的点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点．（1）若点
的横坐标为，且与双曲线的实轴长相等，求抛物线的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线
，若点，记点关于轴的对称点为（不同于点），直线交轴于点．①求证：点
的坐标为；②若
，求点到直线的距离的取值范围．
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