1 . 已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求的最大值.

2 .

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于A、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.

4 . 已知圆：（其中为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点为曲线上一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中A在的右侧），已知点，求四边形面积的最大值.

5 . 已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF₁与y轴相交于Q，且．若PF₁与椭圆相交于另一点R，求DPRF₂的面积．