1 . 已知,动点满足,动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.
(1)求曲线的标准方程;
(2)已知是定值,求该定值;
(3)求面积的范围.
(1)求曲线的标准方程;
(2)已知是定值,求该定值;
(3)求面积的范围.
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2 . 已知直线和椭圆.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
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3 . 在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为和,的周长为6,记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线EF与PQ相交于点A,记EF,PQ的斜率分别为,.
(ⅰ)设EF的中点为G,PQ的中点为H,证明:存在唯一常数,使得当时,;
(ⅱ)若,当最大时,求四边形EPFQ的面积.
(1)求C的方程;
(2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线EF与PQ相交于点A,记EF,PQ的斜率分别为,.
(ⅰ)设EF的中点为G,PQ的中点为H,证明:存在唯一常数,使得当时,;
(ⅱ)若,当最大时,求四边形EPFQ的面积.
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4 . 已知椭圆的离心率为,且过点.若斜率为的直线与椭圆相切于点,过直线上异于点的一点,作斜率为的直线与椭圆交于两点,定义为点处的切割比,记为.
(1)求的方程;
(2)证明:与点的坐标无关;
(3)若,且(为坐标原点),则当时,求直线的方程.
(1)求的方程;
(2)证明:与点的坐标无关;
(3)若,且(为坐标原点),则当时,求直线的方程.
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5 . 一般地,抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形,对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形.如图,,分别为抛物线的切线三角形和切点三角形,为该抛物线的焦点.当直线的斜率为时,中点的纵坐标为.(1)求.
(2)若直线过点,直线分别与该抛物线的准线交于点,记点的纵坐标分别为,证明:为定值.
(3)若均不与坐标原点重合,证明:
(2)若直线过点,直线分别与该抛物线的准线交于点,记点的纵坐标分别为,证明:为定值.
(3)若均不与坐标原点重合,证明:
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6 . 设为原点,为双曲线的两个焦点,点在上且满足,,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. | B. | C. | D. |
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7 . 已知,为椭圆()的左、右焦点,过的直线与相交于,两点,且的最大值为.特别地,当垂直于轴时,.
(1)求的方程;
(2)当与轴不重合时,直线与直线交于点,若直线恒过轴上的定点,求的面积的最大值.
(1)求的方程;
(2)当与轴不重合时,直线与直线交于点,若直线恒过轴上的定点,求的面积的最大值.
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8 . 已知抛物线的焦点为F,动直线l与抛物线C交于A,B两点,分别过A,B向直线引垂线,垂足分别为,,点M在上,且MAMB,设O为坐标原点,则下列说法中正确的是( )
A.M为线段的中点 | B.是与的等比中项 |
C.A,O,三点共线 | D.MA与抛物线C有两个公共点 |
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9 . 已知椭圆:,的左右顶点分别为A,B,长轴长为4,点D为椭圆上与A,B不重合的点,且.
(1)求椭圆方程;
(2)(i)一条垂直于x轴的动直线l交椭圆于P,Q两点,当直线l与曲线相切于点A或点B时,看作P,Q两点重合于点A或点B,求直线与直线交点E的轨迹的方程;
(ii)过的直线l与曲线交于M,N两点,且两交点均在y轴右侧,直线与曲线交于G点,直线与曲线交于H点,记的面积为,记的面积为,求的取值范围.
(1)求椭圆方程;
(2)(i)一条垂直于x轴的动直线l交椭圆于P,Q两点,当直线l与曲线相切于点A或点B时,看作P,Q两点重合于点A或点B,求直线与直线交点E的轨迹的方程;
(ii)过的直线l与曲线交于M,N两点,且两交点均在y轴右侧,直线与曲线交于G点,直线与曲线交于H点,记的面积为,记的面积为,求的取值范围.
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10 . 已知曲线,曲线,下列结论正确的是( )
A.与有4条公切线 |
B.若分别是上的动点,则的最小值是3 |
C.直线与的交点的横坐标之积为 |
D.若是上的动点,则的最小值为8 |
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