1 . 图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面
(2)在棱上存在点，使得锐二面角的大小为，求到平面的距离．

2 . 已知椭圆：左右焦点分别为，，离心率为，为上的两个动点，且面积的最大值为2．
(1)求的方程．
(2)若，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点．

3 . 已知双曲线的离心率为，过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上．

4 . 已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.

   

(1)求证：.
(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.

6 . 如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点.

（i）证明：点B在以为直径的圆内；

（ii）求四边形面积的最大值.

8 . 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．

(1)证明：平面；
(2)是线段中点，求平面和平面夹角的余弦值．

9 . 如图，矩形中为边的中点，将沿直线翻折成，使，若为线段的中点，

(1)求证：平面
(2)求证：平面平面
(3)求二面角夹角的正弦值

10 . 如图，在四棱锥中，，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．