1 . 已知四棱锥中，，，侧面底面．

（Ⅰ）作出平面与平面的交线，并证明平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

2 . 已知斜三棱锥的底面是等腰直角三角形，，点在底面上的射影落在上.

（1）求证：平面；
（2）若，且，求二面角的余弦值.

3 . 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，为椭圆上一点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当点不为椭圆的顶点时，设直线与轴交于点，过原点作直线的平行线且与椭圆交于点，问是否存在常数使得成立？若存在，求出常数；若不存在，说明理由.

4 . 如图，在直三棱柱中，，，，分别是与的中点，为的重心.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.

5 . 已知动圆M过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）斜率为的直线l经过点且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点N，求的值.

6 . 已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．