1 . 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．用空间向量进行以下证明和计算：
      
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．

2 . 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为上一点，.

(1)求证：平面；
(2)在侧棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.

3 . 已知三棱柱中，，，平面，，为的中点，为上一点．请用空间向量知识解答下列问题：
   
(1)求证：平面；
(2)当为的中点时，求二面角的余弦值．

4 . 设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：（为原点）为定值．

5 . 已知点在椭圆上，且点Q到椭圆C两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设圆上任意一点P处的切线l交椭圆C于，两点，求证：.

6 . 已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

7 . 如图所示，在直三棱柱中，，，，为线段的中点.
   
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.

8 . 已知在多面体中，，，，，且平面平面.
   
(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．

9 . 如图，在三棱柱中，底面，，，分别为，的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

10 . 已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4.
(1)求抛物线的方程.
(2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点.